Μία από τις πιο έντονα αμφισβητούμενες αποδείξεις στη σύγχρονη μαθηματική επιστήμη φαίνεται πως ίσως βρίσκεται κοντά στο να ξεκαθαρίσει. Δύο εγχειρήματα, τα οποία στοχεύουν να χρησιμοποιήσουν ένα υπολογιστικό πρόγραμμα για να ρίξουν νέο φως στη διαμάχη, βρίσκονται πλέον σε εξέλιξη, με το ένα μάλιστα να λειτουργεί μυστικά για περισσότερο από δύο χρόνια. Οι εξελίξεις αυτές θεωρούνται θετικό σημάδι ότι η διαφωνία ίσως βρει λύση, σύμφωνα με μαθηματικούς.
Η ιστορία ξεκίνησε το 2012, όταν ο Shinichi Mochizuki στο Πανεπιστήμιο του Κιότο στην Ιαπωνία ισχυρίστηκε ότι απέδειξε μια διάσημη ιδέα, γνωστή ως η εικασία ABC, δημοσιεύοντας μια απόδειξη 500 σελίδων στο διαδίκτυο. Η εικασία είναι απλή στη διατύπωσή της και αφορά πρώτους αριθμούς που εμφανίζονται στις λύσεις της εξίσωσης a + b = c και το πώς σχετίζονται μεταξύ τους. Ωστόσο, η επίλυσή της απαιτεί βαθιές γνώσεις για το πώς αλληλεπιδρούν η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Το αποτέλεσμα έχει επίσης σημαντικές συνέπειες για άλλους τομείς των μαθηματικών.
Η απόδειξη του Mochizuki προκάλεσε αίσθηση, αλλά ήταν δύσκολο να κατανοηθεί από πολλούς συναδέλφους του, καθώς περιλάμβανε νέες τεχνικές και έννοιες, τις οποίες ο ίδιος ονόμασε συνολικά Δια-καθολική Θεωρία Teichmüller (Inter-universal Teichmüller theory – IUT). Επιφανείς μαθηματικοί πέρασαν τους επόμενους μήνες προσπαθώντας να αποσαφηνίσουν το έργο του, ακόμη και μέσω συζητήσεων μαζί του, αλλά η ορθότητα της απόδειξης έφτασε σε αδιέξοδο.
Το 2018, αφού δύο γνωστοί μαθηματικοί, ο Peter Scholze από το Πανεπιστήμιο της Βόννης και ο Jakob Stix από το Πανεπιστήμιο Goethe της Φρανκφούρτης, ανακοίνωσαν ότι είχαν εντοπίσει ένα πιθανό σφάλμα, δεν υπήρξε περαιτέρω πρόοδος. Ο Mochizuki και μια ομάδα στενών συνεργατών του, κυρίως από το Πανεπιστήμιο του Κιότο, υποστήριζαν ότι η απόδειξη είναι σωστή, ενώ ένα μεγαλύτερο μέρος της μαθηματικής κοινότητας θεωρούσε ότι η απόδειξη ήταν είτε ακατανόητη είτε θεμελιωδώς λανθασμένη.
Πέρυσι, ωστόσο, ο Mochizuki έκανε μια κίνηση καλής θέλησης προς τους επικριτές του και πρότεινε έναν πιθανό δρόμο προς τα εμπρός. Είχε σημειωθεί σημαντική πρόοδος σε έναν τομέα των μαθηματικών που ονομάζεται «τυποποίηση», όπου γραπτές αποδείξεις μεταφράζονται σε γλώσσα υπολογιστή ώστε να μπορεί να επαληθευτεί αυτόματα η ορθότητά τους. Μία συγκεκριμένη γλώσσα, η Lean, του φάνηκε ιδιαίτερα ελκυστική. Όπως έγραψε τότε: «Η Lean είναι η καλύτερη και ίσως η μόνη τεχνολογία για την επίτευξη ουσιαστικής προόδου προς τον θεμελιώδη στόχο της απελευθέρωσης της μαθηματικής αλήθειας από τα δεσμά κοινωνικών και πολιτικών δυναμικών.»
Πλέον, οι προσπάθειες τυποποίησης της απόδειξης του Mochizuki για την εικασία ABC στη Lean βρίσκονται επίσημα σε εξέλιξη, με τουλάχιστον δύο ξεχωριστές ομάδες μαθηματικών να ανακοινώνουν πρόοδο, συμπεριλαμβανομένης μιας που ηγείται ο ίδιος ο Mochizuki και μιας άλλης που λειτουργούσε μυστικά για περισσότερα από δύο χρόνια αλλά αντιμετώπισε εμπόδιο.
Στα τέλη του 2023, ο Kato Fumiharu από το Κέντρο Μαθηματικών ZEN στην Ιαπωνία ξεκίνησε το έργο Lean and Anabelian Geometry (LANA), συγκεντρώνοντας μαθηματικούς που ήταν εξοικειωμένοι με το έργο του Mochizuki, καθώς και ειδικούς στη Lean που είχαν ήδη τυποποιήσει μεγάλα μαθηματικά έργα. Ο κύριος στόχος ήταν «να λυθεί οριστικά η διαμάχη», όπως λέει ο Adam Topaz από το Πανεπιστήμιο της Αλμπέρτα στον Καναδά, τον οποίο προσέλαβε ο Fumiharu για να βοηθήσει στην τυποποίηση της απόδειξης.
Σε συνέντευξη Τύπου τον περασμένο μήνα, ο Fumiharu δήλωσε ότι τα μέλη της ομάδας είχαν φτάσει σε «βαθιά κατανόηση» της ιδέας του Mochizuki τα τελευταία χρόνια, αλλά υπήρχε και ένα συγκεκριμένο σημείο στο οποίο δεν μπορούσαν να προχωρήσουν, το οποίο σχετίζεται στενά με το σημείο όπου οι Scholze και Stix είχαν εντοπίσει πιθανό σφάλμα το 2018. «Ουσιαστικά έχουμε κολλήσει προσπαθώντας να κατανοήσουμε ένα συγκεκριμένο σημείο της IUT», λέει ο Topaz. «Το απομονώσαμε πριν από περίπου ενάμιση χρόνο και αρχικά πιστεύαμε ότι απλώς χρειαζόταν να κατανοήσουμε καλύτερα τη θεωρία για να ξεπεράσουμε αυτό το πιθανό πρόβλημα.»
Ωστόσο, ακόμη και μετά από προσπάθειες μέσω εργαστηρίων και έμμεσης επικοινωνίας με τον Mochizuki μέσω μεσολαβητή, δεν κατάφεραν να προχωρήσουν.
Σε μια παράλληλη εξέλιξη, ο Mochizuki και οι συνεργάτες του έχουν επίσης ξεκινήσει ένα έργο για την τυποποίηση της απόδειξης στη Lean. Ωστόσο, δεν ενδιαφέρονται τόσο για την επαλήθευση της ορθότητάς της, καθώς ο Mochizuki επιμένει ότι είναι ήδη σωστή. Αντίθετα, θεωρεί ότι η αξία του εγχειρήματος βρίσκεται περισσότερο στην επικοινωνία.
«Η επαλήθευση δεν είναι το κύριο ζητούμενο», δήλωσε σε πρόσφατο συνέδριο στο Πανεπιστήμιο του Έξετερ στο Ηνωμένο Βασίλειο. «Η σημασία της τυποποίησης στη Lean έγκειται στη δημιουργία ενός ακριβούς αρχείου της λογικής δομής της IUT, που είναι απαλλαγμένο από παρερμηνείες και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μεταδώσει αυτή την απλότητα με τον πιο αποδοτικό και ακριβή τρόπο σε άλλους μαθηματικούς.»
Η προσέγγιση της ομάδας του είναι να επικεντρωθεί στο αμφιλεγόμενο σημείο της απόδειξης, εκεί όπου «κόλλησε» το έργο LANA και που είχαν εντοπίσει οι Scholze και Stix, πριν προχωρήσουν σε τέσσερα ακόμη στάδια τυποποίησης. Ο Mochizuki υποστηρίζει ότι έχουν ήδη ξεκινήσει, γράφοντας 70 γραμμές κώδικα στη Lean, αν και αυτές δεν είναι ακόμη διαθέσιμες δημόσια.
Αυτό δεν θεωρείται πολύς κώδικας, σύμφωνα με τον Kevin Buzzard από το Imperial College του Λονδίνου. «Θα χρειαστούν πολύ περισσότερες από 70 γραμμές. Με 70 γραμμές μετά βίας αποδεικνύεις μερικά θεωρήματα επιπέδου προπτυχιακών σπουδών, πόσο μάλλον μια τόσο τεράστια απόδειξη.»
Παρόλα αυτά, πρόκειται για μία από τις πιο ελπιδοφόρες και σημαντικές εξελίξεις στην κατανόηση της απόδειξης του Mochizuki από τότε που ανακοινώθηκε. «Δεν υπήρχε καμία πρόοδος, καμία νέα πληροφορία με ουσιαστική σημασία, και αυτή είναι η πρώτη φορά που φαίνεται ότι ίσως κάτι κινείται», λέει ο Buzzard.
Ο Topaz συμφωνεί ότι, παρά τις δυσκολίες, φαίνεται να υπάρχει πιθανός δρόμος προς λύση, ειδικά από τη στιγμή που υπάρχει πλέον διάλογος με τον Mochizuki μέσω της Lean, παρόλο που οι προσπάθειες των ομάδων παραμένουν ξεχωριστές.
«Τώρα που υπάρχει αυτός ο διάλογος με τον Mochizuki μέσω της Lean, είμαι πραγματικά αρκετά αισιόδοξος ότι μπορεί να υπάρξει λύση σε αυτή τη διαμάχη», λέει ο Topaz. «Αν κάτι μου δίνει τη μεγαλύτερη αισιοδοξία αυτή τη στιγμή, είναι ότι υπάρχει αυτή η ανταλλαγή επικοινωνίας με την ομάδα του Mochizuki.»
……
Η εικασία abc είναι ένα από τα πιο σημαντικά και φημισμένα ανοιχτά προβλήματα στη θεωρία αριθμών. Διατυπώθηκε τη δεκαετία του 1980 και σχετίζεται με τις εξισώσεις της μορφής:
a+b=c, όπου a,b,c είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί χωρίς κοινούς πρώτους παράγοντες (δηλαδή πρώτοι μεταξύ τους).
Η εικασία αφορά το πώς το μέγεθος του c σχετίζεται με το προϊόν των διαφορετικών πρώτων παραγόντων που εμφανίζονται στα a,b και c. Συγκεκριμένα, υποστηρίζει ότι το c δεν μπορεί να είναι «πολύ μεγαλύτερο» από το γινόμενο αυτών των πρώτων παραγόντων (που συμβολίζεται συνήθως ως rad(abc)).
Η ακριβής διατύπωση είναι τεχνική, αλλά η γενική ιδέα είναι πως αν το c μεγαλώσει πολύ σε σχέση με τους πρώτους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην εξίσωση, αυτό συμβαίνει μόνο σπάνια — και αυτή η σπανιότητα έχει βαθιές επιπτώσεις σε άλλα κλασικά προβλήματα των αριθμών.
Με πληροφορίες από το New Scientist
