Το 2023, ύστερα από δεκαετίες αναζήτησης, οι μαθηματικοί έλυσαν ένα από τα πιο γοητευτικά προβλήματα της θεωρίας πλακιδίων: βρήκαν ένα και μόνο σχήμα που μπορεί να καλύψει μια επίπεδη επιφάνεια χωρίς κενά, αλλά χωρίς να δημιουργεί ποτέ ένα περιοδικό, επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Το σχήμα έγινε γνωστό ως «καπέλο» («hat»), λόγω της ομοιότητάς του με καπέλο τύπου fedora.
Τώρα, ένας προγραμματιστής λογισμικού υποστηρίζει ότι, με τη βοήθεια της τεχνητής νοημοσύνης, έκανε το επόμενο βήμα: βρήκε ένα αντίστοιχο σχήμα στις τρεις διαστάσεις, ικανό να γεμίσει ολόκληρο τον χώρο χωρίς να επιτρέπει περιοδική επανάληψη. Το νέο σχήμα ονομάζεται Chair44 και η ανακάλυψή του παρουσιάστηκε σε preprint τον Σεπτέμβριο του 2026.
Η ιστορία ξεκινά από ένα φαινομενικά απλό ερώτημα. Ένα τετράγωνο, για παράδειγμα, μπορεί να καλύψει μια επίπεδη επιφάνεια χωρίς κενά, όμως αν συνεχίσουμε να τοποθετούμε τετράγωνα προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, δημιουργείται ένα κανονικό και επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Τα λεγόμενα απεριοδικά πλακίδια κάνουν κάτι πολύ πιο παράξενο: καλύπτουν ολόκληρη την επιφάνεια χωρίς κενά, αλλά η διάταξη των σχημάτων δεν επαναλαμβάνεται ποτέ με περιοδικό τρόπο.
Η αναζήτηση ενός και μοναδικού τέτοιου σχήματος είχε ξεκινήσει πολλές δεκαετίες νωρίτερα. Το 1961 ο μαθηματικός Χάο Γουάνγκ διατύπωσε την υπόθεση ότι αν ένα σύνολο σχημάτων μπορεί να καλύψει το επίπεδο, τότε θα πρέπει να μπορεί να το κάνει και περιοδικά. Η υπόθεση αποδείχθηκε λανθασμένη όταν ο Ρόμπερτ Μπέργκερ κατασκεύασε ένα σύνολο με περισσότερα από 20.000 πλακίδια που μπορούσαν να καλύψουν το επίπεδο μόνο μη περιοδικά. Ακολούθησαν οι περίφημοι σχηματισμοί του Ρότζερ Πένροουζ με μόλις δύο σχήματα, όμως το ζητούμενο παρέμενε: ένα μόνο σχήμα.
Το 2023 ο Ντέιβιντ Σμιθ, συνταξιούχος τεχνικός εκτυπώσεων από τη βόρεια Αγγλία και ερασιτέχνης λάτρης των μαθηματικών, βρήκε το «καπέλο», ένα πολυγωνικό σχήμα 13 πλευρών. Σε συνεργασία με τους Τζόζεφ Σάμιουελ Μάιερς, Κρεγκ Κάπλαν και Τσάιμ Γκούντμαν-Στράους, απέδειξε ότι το σχήμα μπορεί να καλύψει το επίπεδο μόνο με απεριοδικό τρόπο. Η εργασία δημοσιεύθηκε τον Μάρτιο του 2023 και έδωσε λύση σε ένα μακροχρόνιο ανοιχτό πρόβλημα.
Η σημασία της ανακάλυψης δεν περιορίστηκε στη θεωρία. Το «καπέλο» άρχισε να εμφανίζεται σε έρευνες από τη μηχανική μέχρι τη χημεία. Μελέτες εξέτασαν τις πιθανές ιδιότητες υλικών που θα μπορούσαν να βασίζονται σε τέτοιες απεριοδικές δομές, ενώ άλλη έρευνα δημιούργησε ένα μεταϋλικό βασισμένο στο «καπέλο» με σχεδόν μηδενικό λόγο Poisson, ιδιότητα που θα μπορούσε να έχει εφαρμογές σε μορφοποιούμενες πτέρυγες και ιατρικές συσκευές.
Το επόμενο μεγάλο ερώτημα ήταν αν μπορεί να υπάρξει κάτι αντίστοιχο στον τρισδιάστατο χώρο. Εκεί το πρόβλημα γίνεται πολύ δυσκολότερο. Δεν αρκεί να αποκλειστεί η απλή επανάληψη με μετατόπιση. Στις τρεις διαστάσεις μπορούν να εμφανιστούν πιο σύνθετες συμμετρίες, όπως περιστροφικές ή ελικοειδείς διατάξεις, ενώ προηγούμενες προσεγγίσεις μπορούσαν να δημιουργούν περιοδικότητα σε μία κατεύθυνση.
Σε αυτό το σημείο εμφανίζεται ο Ιωάννης Τσιόκος, προγραμματιστής λογισμικού από την Αθήνα, ο οποίος δεν διαθέτει ακαδημαϊκό υπόβαθρο στα μαθηματικά. Σύμφωνα με τον ίδιο, περιέγραψε το δισδιάστατο πρόβλημα στην τεχνητή νοημοσύνη και ζήτησε από το μοντέλο GPT-6 Astra να αναζητήσει μια αντίστοιχη λύση στις τρεις διαστάσεις.
«Η Astra το βρήκε, όχι εγώ το πλακίδιο», έχει δηλώσει ο Τσιόκος. Όπως εξηγεί, έδωσε στο μοντέλο τη θεωρία, τους νόμους, τα θεωρήματα, τον κώδικα Lean και τις σχετικές επιστημονικές εργασίες και στη συνέχεια του έθεσε το πρόβλημα. Ο ίδιος λέει χαρακτηριστικά ότι «έχει καταλάβει μόνο το διαισθητικό γεωμετρικό επιχείρημα της απόδειξης, όχι τα μαθηματικά της».
Το αποτέλεσμα ονομάστηκε Chair44, επειδή η βασική μορφή του θυμίζει καρέκλα. Πρόκειται ουσιαστικά για μια κατασκευή από επτά μοναδιαίους κύβους, έναν συμπαγή «κύβο-καρέκλα» διαστάσεων 2×2×2 από τον οποίο έχει αφαιρεθεί μία γωνία. Το ενδιαφέρον, όμως, βρίσκεται στις επιφάνειές του: τα 24 εκτεθειμένα τετραγωνικά τμήματα φέρουν μικροσκοπικές πυραμιδοειδείς προεξοχές και εσοχές.
Οι λεπτομέρειες αυτές είναι εξαιρετικά μικρές σε σχέση με το ίδιο το σώμα. Σύμφωνα με τα στοιχεία του έργου, οι πυραμίδες έχουν ύψος μόλις 1/10.000 του μεγέθους του πλακιδίου. Είναι, ωστόσο, αυτές ακριβώς οι μικροσκοπικές γεωμετρικές διαφορές που εμποδίζουν το σχήμα από το να σχηματίσει περιοδική διάταξη. Το Chair44 έχει όγκο επτά μονάδες, 2.138 κορυφές και 4.272 τρίγωνα στην πλήρη πολυεδρική αναπαράστασή του.
Η ιδέα είναι εντυπωσιακή: ο ίδιος ακριβώς τρισδιάστατος «κύβος-καρέκλα» μπορεί να τοποθετηθεί ξανά και ξανά ώστε να γεμίσει τον Ευκλείδειο χώρο, αλλά οι κανόνες που επιβάλλουν οι μικροσκοπικές προεξοχές και εσοχές εμποδίζουν τη δημιουργία ενός μοτίβου που επαναλαμβάνεται περιοδικά. Η εργασία υποστηρίζει ακόμη ότι κάθε τέτοια πλήρωση διαθέτει μια άπειρη ιεραρχία από ολοένα μεγαλύτερες «υπερπλακίδες», καθώς οκτώ Chair44 μπορούν να σχηματίσουν ένα μεγαλύτερο σύνολο και στη συνέχεια οκτώ από αυτά τα σύνολα να σχηματίσουν ένα ακόμη μεγαλύτερο.
Ακόμη πιο σημαντικό είναι ότι το Chair44 δεν χρειάζεται διαφορετικά χρώματα, ετικέτες ή εξωτερικούς κανόνες για να λειτουργήσει. Η πληροφορία είναι ενσωματωμένη στο ίδιο το σχήμα, μέσω των μικροσκοπικών προεξοχών και εσοχών. Αυτό διαφοροποιεί την κατασκευή από παλαιότερες προσεγγίσεις όπου η απεριοδικότητα μπορούσε να επιβάλλεται με επιπλέον κανόνες αντιστοίχισης.
Η εργασία του Τσιόκου παρουσιάζει επίσης υπολογιστικά ελεγμένη διαδικασία. Οι πεπερασμένοι έλεγχοι της κατασκευής έχουν υλοποιηθεί και ελεγχθεί σε Lean 4, ενώ σύμφωνα με την περιγραφή του έργου χρησιμοποιήθηκαν δύο ανεξάρτητες υλοποιήσεις για την αναπαραγωγή των υπολογιστικών ελέγχων. Η τελική απόδειξη συνδυάζει γεωμετρικά επιχειρήματα με εξαντλητικές πεπερασμένες απαριθμήσεις.
Ο τρόπος με τον οποίο προέκυψε η ανακάλυψη, ωστόσο, έχει προκαλέσει αντιδράσεις στην κοινότητα των μαθηματικών. Ο Τσιόκος αναφέρει ότι χρησιμοποίησε τεχνητή νοημοσύνη όχι μόνο για την αναζήτηση του σχήματος αλλά και για τη συγγραφή της επιστημονικής εργασίας. Έχει δηλώσει ότι έχει δημοσιεύσει περίπου 40 εργασίες με αντίστοιχο τρόπο, ενώ άλλες περίπου 20 βρίσκονται ακόμη υπό προετοιμασία.
Ο Τσάιμ Γκούντμαν-Στράους, ένας από τους μαθηματικούς που είχαν συμμετάσχει στην ανακάλυψη του «καπέλου», άσκησε έντονη κριτική στην αρχική παρουσίαση. Περιέγραψε την εργασία ως «βασικά ένα κομμάτι προχειροδουλειάς», διευκρινίζοντας όμως ότι θεωρεί το ίδιο το μαθηματικό αποτέλεσμα έγκυρο και ότι πίσω από την εργασία υπάρχει «ένα πολύ, πολύ όμορφο αποτέλεσμα». Στη συνέχεια δημοσίευσε δική του εργασία με στόχο να παρουσιάσει με πιο καθαρό τρόπο την κατασκευή και την απόδειξη του Chair44.
Ο Γκούντμαν-Στράους δεν είναι ο μόνος που επανεξέτασε την κατασκευή. Ο Φέλιξ Φλίκερ από το Πανεπιστήμιο του Μπρίστολ έχει επίσης δημοσιεύσει ανεξάρτητη εργασία σχετικά με το Chair44, δείχνοντας ότι οι πολύπλοκοι κανόνες της αρχικής κατασκευής μπορούν να απλοποιηθούν χωρίς να χαθεί η απεριοδικότητα. Παράλληλα, η νέα δουλειά παρέχει έναν επιπλέον έλεγχο των υπολογιστικών στοιχείων της απόδειξης.
Ο Κρεγκ Κάπλαν, από το Πανεπιστήμιο του Βατερλό στον Καναδά και ένας από τους ερευνητές πίσω από το δισδιάστατο «καπέλο», έχει χαρακτηρίσει τη νέα εργασία χαρακτηριστική περίπτωση των προβλημάτων που παρουσιάζουν τα μαθηματικά κείμενα που παράγονται από τεχνητή νοημοσύνη, κυρίως ως προς την αναγνωσιμότητα και τη σαφήνεια. Παρά τις επιφυλάξεις του για την παρουσίαση, θεωρεί ότι το ίδιο το σχήμα φαίνεται να αποτελεί έγκυρη λύση.
«Είναι αυτονόητο ότι πολλοί από εμάς έχουμε σκεφτεί την αναζήτηση ενός τρισδιάστατου απεριοδικού μονοπλακιδίου», έχει δηλώσει ο Κάπλαν. Πρόκειται, όπως εξηγεί, για ένα φυσικό ερώτημα που προκύπτει στις διαλέξεις του για το «καπέλο». Το πρόβλημα ήταν ότι η οπτικοποίηση και κυρίως η κατανόηση μιας μεγάλης τρισδιάστατης συναρμογής ήταν εξαιρετικά δύσκολη για έναν άνθρωπο. «Ακόμη κι αν είχα κάποιο σχήμα που έμοιαζε πολλά υποσχόμενο, πώς θα μπορούσα να κατανοήσω μεγάλες τρισδιάστατες συναρμογές αυτού του σχήματος; Προφανώς, ένας υπολογιστής δεν χρειάζεται να δυσκολευτεί τόσο πολύ», σημειώνει.
Υπάρχει, πάντως, μια κρίσιμη επιφύλαξη. Η αρχική εργασία του Τσιόκου έχει κατατεθεί ως preprint και χαρακτηρίζεται από τον ίδιο τον συγγραφέα ως «proof submission», δηλαδή υποβολή απόδειξης. Δεν έχει ακόμη περάσει από την πλήρη διαδικασία επιστημονικής αξιολόγησης από ανεξάρτητους κριτές. Οι εργασίες των Γκούντμαν-Στράους και Φλίκερ παρέχουν πρόσθετους ελέγχους και διαφορετικές παρουσιάσεις της κατασκευής, αλλά δεν αντικαθιστούν την τελική κρίση μιας επιστημονικής δημοσίευσης.
Αν η μαθηματική απόδειξη επιβεβαιωθεί πλήρως, το Chair44 θα αποτελέσει ένα σημαντικό βήμα στη μακρά αναζήτηση ενός πραγματικά τρισδιάστατου «einstein» – ενός και μόνο συνδεδεμένου σχήματος που μπορεί να γεμίσει τον χώρο, αλλά δεν μπορεί να τον γεμίσει με περιοδικό τρόπο. Και η ιδιαιτερότητα αυτής της ιστορίας δεν βρίσκεται μόνο στο ίδιο το σχήμα, αλλά και στον τρόπο με τον οποίο προέκυψε: ένας ερευνητής χωρίς τυπική εκπαίδευση στα μαθηματικά έθεσε το πρόβλημα σε ένα μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης και, σύμφωνα με την υπό εξέταση εργασία, η μηχανή πρότεινε μια λύση σε ένα πρόβλημα που οι μαθηματικοί προσπαθούσαν να λύσουν εδώ και χρόνια.
Με πληροφορίες από το Newscientist / Arxiv /
