Υπάρχουν γεωμετρικά σχήματα που είναι εύκολο να περιγραφούν στα χαρτιά, αλλά εξαιρετικά δύσκολο να κατασκευαστούν στην πραγματικότητα. Ένα από αυτά είναι ένα παράξενο πολυέδρο με οκτώ έδρες, στο οποίο κάθε έδρα συνδέεται μέσω ακμής με καθεμία από τις υπόλοιπες επτά.
Ο ανεξάρτητος ερευνητής και μηχανικός σχεδιασμού Ruslan Mizhaev κατάφερε να δώσει μια πλήρη γεωμετρική υλοποίηση ενός τέτοιου σχήματος, δείχνοντας ότι μπορεί να «σταθεί» στον τρισδιάστατο χώρο χωρίς οι έδρες ή οι ακμές του να τέμνονται κατά λάθος.
Το αντικείμενο είναι ένα πολυέδρο γένους 3, δηλαδή μια κλειστή επιφάνεια με τρεις λαβές ή, πιο παραστατικά, τρεις σήραγγες που διαπερνούν το σχήμα. Αποτελείται από οκτώ επίπεδες εννεάγωνες έδρες, διαθέτει 24 κορυφές και 36 ακμές, ενώ σε κάθε κορυφή συναντώνται τρεις έδρες.
«Υπάρχουν οκτώ επίπεδες, πολυγωνικές έδρες και καθεμία είναι γειτονική με όλες τις άλλες επτά μέσω μιας ακμής», εξηγεί ο Mizhaev. «Μαζί σχηματίζουν μια κλειστή επιφάνεια με τρεις λαβές».
Η ιδιότητα αυτή θυμίζει το τετράεδρο και το γνωστό πολύεδρο του Szilassi, στα οποία επίσης κάθε έδρα συνδέεται με όλες τις υπόλοιπες. Το νέο σχήμα, όμως, παρουσιάζει μια ενδιαφέρουσα διαφορά: ορισμένα ζεύγη εδρών μοιράζονται δύο ακμές αντί για μία.
Το πραγματικό μαθηματικό πρόβλημα, ωστόσο, δεν είναι απλώς να περιγραφεί ένα τέτοιο αντικείμενο. Είναι να αποδειχθεί ότι μπορεί πράγματι να κατασκευαστεί.
Οι μαθηματικοί μπορούν να ορίσουν αφηρημένα ένα πολυέδρο, περιγράφοντας ποιες κορυφές συνδέονται μεταξύ τους και πώς πρέπει να διατάσσονται οι έδρες. Αυτό όμως δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η συγκεκριμένη δομή μπορεί να ενσωματωθεί στον τρισδιάστατο χώρο. Κατά την προσπάθεια κατασκευής της μπορεί να προκύψουν ακμές που διασταυρώνονται ή έδρες που επικαλύπτονται με τρόπους που δεν επιτρέπονται.
Ο Mizhaev αντιμετώπισε το πρόβλημα δίνοντας ακέραιες συντεταγμένες και για τις 24 κορυφές του σχήματος. Παράλληλα, παρουσίασε εξισώσεις που επιτρέπουν σε άλλους μαθηματικούς να ελέγξουν ανεξάρτητα την κατασκευή και να επιβεβαιώσουν ότι οι έδρες είναι επίπεδες, η επιφάνεια κλείνει σωστά και δεν υπάρχουν ανεπιθύμητες τομές.
Η βασική δομή του πολυέδρου δεν εμφανίστηκε για πρώτη φορά τώρα. Ο Mizhaev την είχε περιγράψει ήδη από το 2020, όταν πειραματιζόταν με πολυεδρικές επιφάνειες σε λογισμικό σχεδιασμού μέσω υπολογιστή (CAD). Η νέα εργασία προσθέτει την πλήρη γεωμετρική κατασκευή και τα μαθηματικά εργαλεία που απαιτούνται για την επαλήθευσή της.
«Δεν είναι εύκολο να κατασκευάσεις πραγματικά αυτά τα αντικείμενα», λέει ο Lars Schewe από το Πανεπιστήμιο του Εδιμβούργου. Σύμφωνα με τον ίδιο, το αποτέλεσμα αποτελεί περισσότερο ένα ακόμη κομμάτι σε ένα μεγαλύτερο μαθηματικό παζλ παρά μια ανατροπή της υπάρχουσας γνώσης.
Η δυσκολία εξηγεί και γιατί τέτοια σχήματα παραμένουν αντικείμενο έρευνας. Μια θεωρητική προσέγγιση θα απαιτούσε τη δημιουργία ενός τεράστιου συστήματος εξισώσεων, στο οποίο θα καθορίζονταν οι θέσεις όλων των κορυφών και ο τρόπος με τον οποίο πρέπει να εφαρμόζουν μεταξύ τους οι έδρες. Καθώς αυξάνεται η πολυπλοκότητα του σχήματος, όμως, ένα τέτοιο σύστημα μπορεί γρήγορα να γίνει πρακτικά αδύνατο να επιλυθεί.
Οι ερευνητές χρησιμοποιούν έτσι συνδυασμό υπολογιστικών αναζητήσεων, γεωμετρικής διαίσθησης και, σε ορισμένες περιπτώσεις, φυσικών μοντέλων. Στην περίπτωση του Mizhaev, χρησιμοποιήθηκε και τεχνητή νοημοσύνη. Ο ίδιος αναφέρει ότι αξιοποίησε το ChatGPT για ορισμένους υπολογισμούς επαλήθευσης και για τη συγγραφή κώδικα Python που χρησιμοποιήθηκε στη νέα εκδοχή του πολυέδρου. Η αρχική δομή, ωστόσο, είχε δημιουργηθεί το 2020, πριν αρχίσει να χρησιμοποιεί το εργαλείο.
Και αυτή ακριβώς η απόσταση ανάμεσα στη θεωρία και στην πραγματική κατασκευή είναι που κάνει το πρόβλημα τόσο ενδιαφέρον. Όπως το θέτει ο Schewe: «Μπορώ να σας πω ποιοι είναι οι κανόνες. Όταν όμως προσπαθώ να το κατασκευάσω και να το σχεδιάσω, δεν μπορώ να το κάνω».
Το νέο πολυέδρο δεν αλλάζει τους θεμελιώδεις κανόνες της γεωμετρίας. Δείχνει, όμως, πόσο δύσκολο μπορεί να είναι ακόμη και σήμερα να μετατραπεί μια αφηρημένη μαθηματική ιδέα σε ένα αντικείμενο που μπορεί να υπάρξει πραγματικά στον τρισδιάστατο κόσμο.
Πηγή έρευνας Arxiv.org
Με πληροφορίες από το Newscientist
